Dodécaèdre rombique

[louials]

Quel volume obtient on  si on construit des losanges sur chaque arête d'un dodécaèdre rombique?
 

[BUT]

Bonjour

 

Pour bien visualiser les explications qui suivent, je vous conseille d'aller sur le site smorf.nl. Là vous allez dans la section "Crystal shapes" (cherchez dans le bandeau rouge en haut), puis dans la rubrique "Isometric", et là allez sur la planche Garnet 1B.

 

Si par la pensée vous faites - sur chaque arête d'un rhombododécaèdre - une troncature "équilibrée" (j'entends par là une troncature perpendiculaire au plan bissecteur du dièdre formé par les deux faces partageant cette arête), et qu'ensuite vous étendez ces troncatures jusqu'à faire disparaître complètement les faces losanges du dodécaèdre initial, vous obtenez un solide à 24 faces identiques, qui ne sont pas des losanges mais des "cerfs-volants". C'est le solide qu'en Cristallographie on note (112) dans le système cubique. L'illustration ci-dessous est tirée d'Alain Abréal ("Tout sur les grenats") qui j'espère ne m'en tiendra pas rigueur, et que je remercie pour ses documents en libre accès.

 

 

En ce qui concerne le nom de ce solide, c'est la foire:

- En Cristallographie c'est le premier membre de la famille des tétragono-trioctaèdres, notés (hhl) avec h<l et h non nul.

- En Géométrie, on l'appelle icositétraèdre trapézoïdal (bien que les faces ne soient pas des trapèzes), ou tétragonal, ou deltoïdal.

- Enfin les minéralogistes l'appellent trapézoèdre, bien qu'il n'ait rien à voir avec la famille des trapézoèdres au sens des Géomètres. Mais cette appellation a le mérite d'être simple.

 

Pour en revenir à votre propos initial, il est impossible d'obtenir un solide fermé régulier en construisant des faces losanges sur chaque arête d'un rhombododécaèdre, parce que si vous le regardez attentivement, vous verrez vite que ses 14 sommets n'ont pas tous le même statut:

- 6 sommets se trouvent à la convergence de quatre faces et de quatre arêtes: opposés deux à deux, ils matérialisent les trois axes de symétrie quaternaire du système cubique;

- 8 sommets se trouvent à la convergence de trois faces et de trois arêtes: opposés deux à deux, ils matérialisent les quatre axes de symétrie ternaire du système cubique.

Pour cette raison, un dodécaèdre rhomboïdal change complètement d'aspect selon le point de vue sous lequel on le regarde:

- vu selon un axe A4, il apparaît comme une fenêtre carrée à quatre carreaux;

- vu selon un axe A3, il apparaît comme un hexagone régulier divisé en trois losanges.

 

 

 

Donc, si vous cherchez à construire une troncature sur chaque arête du rhombododécaèdre, puis à étendre ces troncatures jusqu'à disparition des losanges initiaux, vous terminez avec des faces qui ont un angle plus grand aux endroits où seulement trois troncatures convergent vers un sommet "hérité" du dodécaèdre initial, un angle plus petit aux endroits où quatre troncatures convergent vers un sommet "hérité" du dodécaèdre initial, et un angle intermédiaire aux endroits où quatre troncatures convergent vers un sommet qui est le centre d'une face losange du dodécaèdre initial. C'est pourquoi vous vous retrouvez finalement avec des cerfs-volants et non des losanges.

 

 

 

[Hugo Duby]

Le 06/05/2023 à 18:15, BUT a dit :

Bonjour

 

Pour bien visualiser les explications qui suivent, je vous conseille d'aller sur le site smorf.nl. Là vous allez dans la section "Crystal shapes" (cherchez dans le bandeau rouge en haut), puis dans la rubrique "Isometric", et là allez sur la planche Garnet 1B.

 

Si par la pensée vous faites - sur chaque arête d'un rhombododécaèdre - une troncature "équilibrée" (j'entends par là une troncature perpendiculaire au plan bissecteur du dièdre formé par les deux faces partageant cette arête), et qu'ensuite vous étendez ces troncatures jusqu'à faire disparaître complètement les faces losanges du dodécaèdre initial, vous obtenez un solide à 24 faces identiques, qui ne sont pas des losanges mais des "cerfs-volants". C'est le solide qu'en Cristallographie on note (112) dans le système cubique. L'illustration ci-dessous est tirée d'Alain Abréal ("Tout sur les grenats") qui j'espère ne m'en tiendra pas rigueur, et que je remercie pour ses documents en libre accès.

 

 

En ce qui concerne le nom de ce solide, c'est la foire:

- En Cristallographie c'est le premier membre de la famille des tétragono-trioctaèdres, notés (hhl) avec h<l et h non nul.

- En Géométrie, on l'appelle icositétraèdre trapézoïdal (bien que les faces ne soient pas des trapèzes), ou tétragonal, ou deltoïdal.

- Enfin les minéralogistes l'appellent trapézoèdre, bien qu'il n'ait rien à voir avec la famille des trapézoèdres au sens des Géomètres. Mais cette appellation a le mérite d'être simple.

 

Pour en revenir à votre propos initial, il est impossible d'obtenir un solide fermé régulier en construisant des faces losanges sur chaque arête d'un rhombododécaèdre, parce que si vous le regardez attentivement, vous verrez vite que ses 14 sommets n'ont pas tous le même statut:

- 6 sommets se trouvent à la convergence de quatre faces et de quatre arêtes: opposés deux à deux, ils matérialisent les trois axes de symétrie quaternaire du système cubique;

- 8 sommets se trouvent à la convergence de trois faces et de trois arêtes: opposés deux à deux, ils matérialisent les quatre axes de symétrie ternaire du système cubique.

Pour cette raison, un dodécaèdre rhomboïdal change complètement d'aspect selon le point de vue sous lequel on le regarde:

- vu selon un axe A4, il apparaît comme une fenêtre carrée à quatre carreaux;

- vu selon un axe A3, il apparaît comme un hexagone régulier divisé en trois losanges.

 

 

 

Donc, si vous cherchez à construire une troncature sur chaque arête du rhombododécaèdre, puis à étendre ces troncatures jusqu'à disparition des losanges initiaux, vous terminez avec des faces qui ont un angle plus grand aux endroits où seulement trois troncatures convergent vers un sommet "hérité" du dodécaèdre initial, un angle plus petit aux endroits où quatre troncatures convergent vers un sommet "hérité" du dodécaèdre initial, et un angle intermédiaire aux endroits où quatre troncatures convergent vers un sommet qui est le centre d'une face losange du dodécaèdre initial. C'est pourquoi vous vous retrouvez finalement avec des cerfs-volants et non des losanges.

 

 

 

😅Bien,  merci beaucoup.

Notez que, je vous remercie même ci je suis pas le demandeur.

J'ai appris quelques chose même si je suis pas sur de pouvoir le reproduire facilement. 

Bonne fin de journée 

 

[BUT]

Il y a 1 heure, Hugo Duby a dit :

😅Bien,  merci beaucoup.

Notez que, je vous remercie même ci je suis pas le demandeur.

J'ai appris quelques chose même si je suis pas sur de pouvoir le reproduire facilement. 

Bonne fin de journée 

 

 

Bonjour Hugo

 

Pour bien s'approprier ces notions, le mieux est encore de manipuler, par exemple de gros rhombododécaèdres pluricentimétriques d'Almandin de Madagascar; dans les années 1980, il y avait dans l'entrée du Palais de la Découverte une échoppe où l'on pouvait s'en procurer pour quelques francs (voir photo ci-dessous).

 

A défaut de vrais cristaux, il existe des modèles en bois ou en carton: on trouve des patrons sur internet pour fabriquer soi-même en carton les principales formes cristallines.  On peut même tailler un cube dans une grosse pomme de terre, et voir comment on obtient un rhombododécaèdre en tronquant ses arêtes.

 

Mais si vous n'avez pas trop de temps, le mieux est encore d'aller sur smorf.nl.

Sur la page d'entrée, il y a un encadré avec des noms d'espèces minérales, classées par ordre alphabétique.

Vous descendez jusqu'à "Garnet" et vous cliquez sur le premier de la liste: c'est un rhombododécaèdre et vous pouvez le faire tourner dans tous les sens avec la souris, ce qui permet de le regarder sous différents points de vue, et donc selon les axes de symétrie quaternaire et ternaire.

Ensuite vous cliquez sur le deuxième de la liste ("Garnet, Siberia, Russia): c'est un rhombododécaèdre avec de petites troncatures du trapézoèdre. En le faisant tourner, vous réalisez facilement pourquoi les troncatures ont des angles plus grands du côté où elles sont seulement trois à converger vers un sommet, et plus petits du côté où elles sont quatre à converger vers un sommet: en fait elles se partagent la place disponible.

Ensuite vous cliquez sur le cinquième de la liste ("Garnet, Finland"). C'est un trapézoèdre: les troncatures du cas précédent ont été étendues au maximum, c'est-à-dire jusqu'à se rencontrer aux centres des faces du rhombododécaèdre initial (lesquelles sont donc réduites à un point, qui est un sommet du trapézoèdre). En le faisant tourner vous pouvez voir à quoi ressemble le trapézoèdre vu selon un axe de symétrie quaternaire, selon un axe ternaire ou selon un des axes reliant deux à deux les sommets qui étaient initialement les centres des losanges du dodécaèdre initial.

 

 

 

 

 

, ou des modèles de cristaux, en bois ou en carton (il y a des patrons sur internet pour fabriquer soi-même les formes cristallines les plus courantes)mieux